已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵．求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．

admin2021-11-09 47

问题已知齐次线性方程组

有非零解，且

是正定矩阵．
求x^Tx=1，x^TAx的最大值和最小值．

选项

答案当a=3时，由 [*] 得A的特征值为1，4，10．由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，经正交变换x=Py化二次型x^TAx为标准形，从而 1=y²₁+y²₂+y²₃≤x^TAx=y²₁+4y²₂+10y²₃≤10(y²₁+y²₂+y²₃)=10，故x^TAx的最大值为10，最小值为1．

解析

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考研数学二

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设对一切的χ，有f(χ＋1)＝2f(χ)，且当χ∈[0，1]时f(χ)＝χ(χ2－1)，讨论函数f(χ)在χ＝0处的可导性．
设f(χ)二阶可导，＝1，f(1)＝1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)－f′(ξ)＋1＝0．
设位于曲线下方、x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得立体的体积为．
求极限.
设有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010.
设y＝χarctanχ＋，则＝_______．
设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，并且a＜1．试确定a的值，使S=S1+S2达到最小，并求出最小值．

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