设f(x)是连续函数，且∫-10xf(x)dx＞0，∫01xf(x)dx＞0，则[ ]．

admin2016-03-01 24

问题设f(x)是连续函数，且∫_-1⁰xf(x)dx＞0，∫₀¹xf(x)dx＞0，则[ ]．

选项 A、当x∈(一1，1)时，f(x)＞0
B、当x∈(一1，1)时，f(x)＜0
C、在(一1，1)内f(x)至少有一个零点
D、(A)，(B)，(C)均不正确

答案C

解析由积分中值定理，存在ξ₁∈[一1，0]使得
∫_-1⁰xf(x)dx=ξ₁f(ξ₁)．
因∫_-1⁰xf(x)dx＞0，所以ξ₁≠0，所以存在ξ₁∈[一1，0)使得
∫_-1⁰xf(x)dx=ξ₁f(ξ₁)＞0，
于是得f(ξ₁)＜0．同理存在ξ₂∈(0，1]使f(ξ₂)＞0，由连续函数的零点存在定理得存在η∈(ξ，ξ)使得f(η)=0．
故选(C)．

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