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设齐次线性方程组 其中A≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多解?当有无穷多解时,求出其全部解,并用基础解系表示全部解.
设齐次线性方程组 其中A≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多解?当有无穷多解时,求出其全部解,并用基础解系表示全部解.
admin
2016-10-27
72
问题
设齐次线性方程组
其中A≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多解?当有无穷多解时,求出其全部解,并用基础解系表示全部解.
选项
答案
对系数矩阵作初等行变换,把第1行的一1倍分别加至第2行到第n行,有 [*] (Ⅰ)如果a=b,方程组的同解方程组是x
1
+x
2
+…+x
n
=0. 由于n一r(A)=n一1,取自由变量为x
2
,x
3
,…,x
n
,得到基础解系为: α
1
=(一1,1,0,…,0)
T
,α
2
=(一1,0,1,…,0)
T
,…,α
n-1
=(一1,0,0,…,1)
T
. 方程组通解是:k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
为任意常数. (Ⅱ)如果a≠b,对系数矩阵作初等行变换,有 [*] 若a≠(1一n)b,则秩r(A)=n,此时齐次方程组只有零解. 若a=(1一n)b,则秩r(A)=n一1.取x
1
为自由变量,则基础解系为a=(1,1,…,1)
T
,于是方程组的通解是:kα,其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/PTu4777K
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考研数学一
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