设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f″(ξ)－2f′(ξ)=0．

admin2019-09-27 8

问题设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫₀²f(t)dt=f(2)+f(3)．
证明：
存在ξ∈(0，3)，使得f″(ξ)－2f′(ξ)=0．

选项

答案令φ(x)=e^－2xf′(x)，φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](0，3)，使得φ′(ξ)=0，而φ′(x)=e^－2x[f″(x)－2f′(x)]且e^－2x≠0，故f″(ξ)－2f′(ξ)=0．

解析

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考研数学一

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