设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

admin2018-05-17 70

问题设α₁，α₂，…，α_n为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

选项

答案不妨设β≠0，令k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_nα_n＋k₀β＝0，上式两边左乘β^T得 k₁β^Tα₁＋k₂β^Tα₂＋…＋k_nβ^Tα_n＋k₀β^Tβ＝0 因为α₁，α₂，…，α_n与β正交，所以k₀β^Tβ＝0，即k₀｜β｜²＝0，从而k₀＝0，于是k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_nα_n＝0，再由α₁，α₂，…，α_n线性无关，得走k₁＝k₂＝…＝k_n＝0，故α₁，α₂，…，α_n，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以β＝0．

解析

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