2. 考研
  3. (16年)已知矩阵A＝ (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA，记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

(16年)已知矩阵A＝ (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA，记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

admin2021-01-25  105
问题 (16年)已知矩阵A＝
    (Ⅰ)求A99；
    (Ⅱ)设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA，记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
选项
答案(Ⅰ)利用方阵A_的相似对角化来求方阵A的幂，为此先来求A的特征值与特征向量，由 ｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ＋1)(λ＋2)＝0 得A的全部特征值为λ1＝0，λ2＝－1，λ3＝－2， 对于特征值λ1＝0，解方程组Aχ＝0，得对应的特征向量ξ1＝(3，2，2)T， 对于特征值λ2＝－1，解方程组(－E－A)χ＝0，得对应的特征向量ξ2＝(1，1，0)T， 对于特征值λ3＝－2，解方程组(－2E－A)χ＝0，得对应的特征向量ξ3＝(1，2，0)T， 令矩阵P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝[*]，则P-1AP＝[*]＝D， 于是得 A99＝(PDP-1)＝PD99P-1 ＝[*] (Ⅱ)因为B2＝BA，所以 B100＝B98B2＝B99A＝B97B2A＝B98A2＝…＝BA99． [*]
解析
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考研数学三

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