(16年)已知矩阵A＝ (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA，记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

admin2021-01-25 90

问题 (16年)已知矩阵A＝

(Ⅰ)求A⁹⁹；
(Ⅱ)设3阶矩阵B＝(α₁，α₂，α₃)满足B²＝BA，记B¹⁰⁰＝(β₁，β₂，β₃)，将β₁，β₂，β₃分别表示为α₁，α₂，α₃的线性组合．

选项

答案(Ⅰ)利用方阵A_的相似对角化来求方阵A的幂，为此先来求A的特征值与特征向量，由｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ＋1)(λ＋2)＝0 得A的全部特征值为λ₁＝0，λ₂＝－1，λ₃＝－2，对于特征值λ₁＝0，解方程组Aχ＝0，得对应的特征向量ξ₁＝(3，2，2)^T，对于特征值λ₂＝－1，解方程组(－E－A)χ＝0，得对应的特征向量ξ₂＝(1，1，0)^T，对于特征值λ₃＝－2，解方程组(－2E－A)χ＝0，得对应的特征向量ξ₃＝(1，2，0)^T，令矩阵P＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)＝[*]，则P^-1AP＝[*]＝D，于是得 A⁹⁹＝(PDP^-1)＝PD⁹⁹P^-1 ＝[*] (Ⅱ)因为B²＝BA，所以 B¹⁰⁰＝B⁹⁸B²＝B⁹⁹A＝B⁹⁷B²A＝B⁹⁸A²＝…＝BA⁹⁹． [*]

解析

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考研数学三

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(16年)已知矩阵A＝ (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA，记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

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