2. 考研
  3. 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．

设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．

admin2018-06-27  82
问题 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小．
选项
答案f(x)在x=a可展开成 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+[*]f’’(a)(x-a)2+…+[*]f(n)(a)(x-a)n+o((x-a)n)(x→a)． 由x→a时f(x)是(x-a)的n阶无穷小[*] (a)=f’(a)=…=f(n-1)(a)=0，f(n)(a)≠0． 又f(x)在x=a邻域(n-1)阶可导，f(n-1)(x)在x=a可导． 由g(x)=f’(x)在x=a处n-1阶可导[*] g(x)=g(a)+g’(a)(x-a)+…+[*]g(n-1)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)， 即f’(x)=f’(a)+f’’(a)(x-a)+…+[*]f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1) =[*]f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1)． 因此f’(x)是x-a的n-1阶无穷小(x→a)．
解析
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考研数学二

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