设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=f(ξ)。

admin2019-09-27 22

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫_a^bf(x)dx=0．
证明：
存在ξ∈(a，b)，使得f″(ξ)=f(ξ)。

选项

答案令φ(x)=e^－x[f′(x)+f(x)]，φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得φ′(ξ)=0，而φ′(x)=e^－x[f″(x)－f(x)]且e^－x≠0，所以f″(ξ)=f(ξ)．

解析

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考研数学一

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