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  3. 设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

admin2017-08-31  37
问题 设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．
选项
答案令φ(x)=exf(x)，则φ’(x)=ex[f(x)＋f’(x)]， 由｜f(x)+f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，则 φ(x)=φ(x)一φ(－∞)=∫－∞xφ’(x)dx，两边取绝对值得 ex｜f(x)｜≤∫－∞x｜φ’(x)｜dx≤∫－∞xexdx=ex，所以｜f(x)｜≤1．
解析
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考研数学一

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