设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

admin2017-08-31 49

问题设f(x)有界，且f^’(x)连续，对任意的x∈(一∞，+∞)有｜f(x)+f^’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．

选项

答案令φ(x)=e^xf(x)，则φ^’(x)=e^x[f(x)＋f^’(x)]，由｜f(x)+f^’(x)｜≤1得｜φ^’(x)｜≤e^x，又由f(x)有界得φ(一∞)=0，则 φ(x)=φ(x)一φ(－∞)=∫_－∞^xφ^’(x)dx，两边取绝对值得 e^x｜f(x)｜≤∫_－∞^x｜φ^’(x)｜dx≤∫_－∞^xe^xdx=e^x，所以｜f(x)｜≤1．

解析

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考研数学一

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