∫02πsinnxcosmxdx(自然数n或m为奇数)=_________．

admin2018-06-27 69

问题 ∫₀^2πsinⁿxcos^mxdx(自然数n或m为奇数)=_________．

选项

答案0

解析由周期函数的积分性质得
I_n,m

∫₀^2πsinⁿxcos^mxdx=∫_-π^πxinⁿxcos^mxdx.
当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故I_n,m=0．
当m为奇数(设m=2k+1，k=0，1，2，…)时
I_n,m=∫_-π^πsinⁿx(1-sin²x)^kdsinx=R(sinx)｜_-π^π=0，
其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．
因此I_n,m=0．

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