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  3. 设函数f(x)有任意阶导数且f’ (x)= f2 (x) ，求fn (x)．

设函数f(x)有任意阶导数且f’ (x)= f2 (x) ，求fn (x)．

admin2017-05-31  51
问题 设函数f(x)有任意阶导数且f’ (x)= f2 (x) ，求fn (x)．
选项
答案将f’(x)=f2(x)两边求导得 f’’(x)=2f(x)．f’(x)=2f3(x)=2!f3(x) 再求导得 f’’’(x)=6f2(x)．f’(x)=3!f4(x) 用数学归纳法可证明 f(n)(x)=n!f(n+1)(x)．
解析 关于高阶导数的计算，一般来说，很难写出f(n)(x)(n≥3)的统一公式，但可利用常见函数的n阶导数(a，b为常数)： (eax+b)n=aneax+b，

[(ax+b) α](n)=anα(α－1) ．… ．(α－n+1)(ax+b) α－n，和莱布尼兹公式[f(x)g(x)] (n)=f(x)gn(x)+Cn1f’(x)gn－1 (x)+Cn2f’ ’ (x)gn－2 (x)+…+Cnn－1(x)fn－1(x)g’ (x)+fn (x)g(x)，来计算某些初等函数的n阶导数．
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