设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．

admin2018-06-27 89

问题设α₁，α₂，α₃都是n维非零向量，证明：α₁，α₂，α₃线性无关

对任何数s，t，α₁+sα₃，α₂+tα₃都线性无关．

选项

答案“[*]”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用C矩阵法更加简单． α₁+sα₃，α₂+tα₃对α₁，α₂，α₃的表示矩阵为 [*] 显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α₁+sα₃，α₂+tα₃的秩为2，线性无关． “[*]”在s=t=0时，得α₁，α₂线性无关，于是只要再证明α₃不可用α₁，α₂线性表示．用反证法．如果α₃可以用α₁，α₂线性表示，设 α₃=c₁α₁+c₂α₂，则因为α₃不是零向量，c₁，c₂不能全为0．不妨设c₁≠0，则有 c₁(α₁-[*]α₃)+c₂α₂=0，于是α₁-[*]α₃，α₂线性相关，即当s=[*]，t=0时α₁+sα₃，α₂+tα₃相关，与条件矛盾．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．

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设0＜x1＜3，xn＋1＝(n＝1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．

设函数u＝f(x，y，z)有连续偏导数，且z＝z(x，y)由方程zex－yey＝zez所确定，求du．

设，A是A的伴随矩阵，则(A)－1＝_______．

设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0，记n阶矩阵A＝αβT．求：(1)A2．(2)矩阵A的特征值．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，X1，X2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明X1＋X2不是A的特征向量．

设非齐次线性微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是

已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．求矩阵A的特征向量；

设f(x，y)=讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．

设讨论它们在点(0，0)处的①偏导数的存在性；②函数的连续性；③方向导数的存在性；④函数的可微性．

设f(x)连续(A为常数)，φ(x)=∫01f(xt)dt，求φ’(x)，并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

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设向量α＝(a1，a2，…，an)T，β＝(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ＝0，记n阶矩阵A＝αβT．求：(1)A2．(2)矩阵A的特征值．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，X1，X2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明X1＋X2不是A的特征向量．

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已知A是3阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．求矩阵A的特征向量；

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