证明对于任何m×n实矩阵A，ATA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则ATA是正定矩阵．

admin2017-06-08 86

问题证明对于任何m×n实矩阵A，A^TA的负惯性指数为0．如果A秩为n，则A^TA是正定矩阵．

选项

答案根据惯性定理6．4，只用证明A^TA的特征值都不为负数，并且在A秩为n时A^TA的特征值都大于0．设λ是A的一个特征值，η是属于它的一个特征向量，即有A^TAη=λη，于是η^TA^TAη=λη^Tη，即 (Aη，Aη)=λ(η，η)．则 λ=(Aη，Aη)／(η，η)≥0．如果A秩为n，则AX=0没有非零解，从而Aη≠0，(Aη，Aη)＞0，因此 λ=(Aη，Aη)／(η，η)＞0．

解析

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