2. 考研
  3. 已知α1=(1，3,5，一1)T，α2=(2，7，n，4)T，α3=(5，17，一1，7)T， 当α=3时，证明α1,α2,α3,α4表示任一个4维列向量．

已知α1=(1，3,5，一1)T，α2=(2，7，n，4)T，α3=(5，17，一1，7)T， 当α=3时，证明α1,α2,α3,α4表示任一个4维列向量．

admin2014-05-19  107
问题 已知α1=(1，3,5，一1)T，α2=(2，7，n，4)T，α3=(5，17，一1，7)T，
当α=3时，证明α1,α2,α3,α4表示任一个4维列向量．
选项
答案由于｜α1,α2,α3,α4｜=[*]所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一4维列向量必可由α1,α2,α3,α4线性表出或者由(I)知α=3时，α1,α2,α3必线性无关，那么：若k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，用α4T左乘上式两端并利用α4Tα1=α4Tα3=0，有k4α4Tα4=0，又α4≠0，故必有k4=0于是k1α1+k2α2+k3α3=0．由α1,α2,α3线性无关知必有1=0，k2=0，k3=0，从而α1,α2,α3,α4必线性无关。而5个4维列向量必线性相关，因此任一个4维列向量都可由α1,α2,α3,α4线性表出．
解析
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考研数学二

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