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设a0=3,a1=5,nan=(n>1). (Ⅰ)证明:当-1<x<1时,幂级数收敛; (Ⅱ)求该级数的和函数s(x)(-1<x<1).
设a0=3,a1=5,nan=(n>1). (Ⅰ)证明:当-1<x<1时,幂级数收敛; (Ⅱ)求该级数的和函数s(x)(-1<x<1).
admin
2020-10-30
73
问题
设a
0
=3,a
1
=5,na
n
=
(n>1).
(Ⅰ)证明:当-1<x<1时,幂级数
收敛;
(Ⅱ)求该级数的和函数s(x)(-1<x<1).
选项
答案
(Ⅰ)问题转化为求幂级数[*]的收敛半径R.由已知条件,当n>1时,[*] 从而[*] 所以幂级数[*]的收敛半径R=[*]=1,故当-1<x<1时,该幂级数收敛. (Ⅰ)设[*]则[*] 即(1+x)s’(x)=[*]+3,于是[*] 由一阶线性微分方程的通解公式,得s(x)=C[*],由s(0)=3,得[*],故该 幂级数的和函数为[*]
解析
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考研数学三
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