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  3. 设非齐次方程组 有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(Ⅰ)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n－r+1个．

设非齐次方程组 有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(Ⅰ)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n－r+1个．

admin2017-06-14  105
问题 设非齐次方程组

有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(Ⅰ)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n－r+1个．
选项
答案因r(A)=r＜n，可设ξ1，ξ2，…，ξn－r是(Ⅰ)的对应齐次线性方程组的基础解 系，η*是(Ⅰ)的一个特解． 由η*不能被ξ1，ξ2，…，ξn－r线性表示，且ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，可知η*，ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，而方程组(Ⅰ)的任意一解η都可以表示成η*和ξ1，ξ2，…，ξn－r的线性组合． η=η*=k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r． 所以(Ⅰ)的解向量的秩≤n－r+1． 又向量组η*，η*+ξ1，η*+ξ2，…，η*+ξn－r是(Ⅰ)的n－r+1个特解，考察 k0η*+k1(η*+ξ1)+k2(η*+ξ2)+…+kn－r(η*+ξn－r)=0， 整理得 (k0+k1+k2+…+kn－r)η*+k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0． 因η*，ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，上式成立当且仅当 [*] 即 k1=k2=…=kn－r=k0=0． 从而得证η*，η*+ξ1，η*+ξ2，…，η*+ξn－r线性无关， r(η*，η*+ξ1，η*+ξ2，…，η*+ξn－r)=n－r+1，即方程组(Ⅰ)至少有n－r+1个线性无关的解向量，即(Ⅰ)的解向量组的秩≥n－r+1． 综上所述，方程组(Ⅰ)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n－r+1个．
解析
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考研数学一

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