2. 考研
  3. 设函数S(x)＝∫0x｜cost｜dt， (1)当n为正整数，且nπ≤x＜(n＋1)π时，证明：2n≤S(x)＜2(n＋1)； (2)求．

设函数S(x)＝∫0x｜cost｜dt， (1)当n为正整数，且nπ≤x＜(n＋1)π时，证明：2n≤S(x)＜2(n＋1)； (2)求．

admin2014-01-26  104
问题 设函数S(x)＝∫0x｜cost｜dt，
(1)当n为正整数，且nπ≤x＜(n＋1)π时，证明：2n≤S(x)＜2(n＋1)；
(2)求．
选项
答案(1)nπ≤x＜(n＋1)π时，注意到被积函数是非负的，于是有 ∫0nπ｜cosx｜dx≤S(x)＜∫0(n＋1)π｜cosx｜dx． 又因为｜cosx｜是以π为周期的甬数，存每个周期上积分值相等，所以 ∫0nπ｜cosx｜dx＝n∫0π｜cosx｜dx＝2n， ∫0(n＋1)π｜cosx｜dx＝(n＋1)∫0π｜cosx｜dx＝2(n＋1)． 因此当nπ≤x＜(n＋1)π时，有 2n≤S(x)＜2(n＋1)． (2)由(1)知，当nπ≤x＜(n＋1)π时，有 [*]， 当x→＋∞时，有n→∞，根据夹逼定理得 [*]。
解析 [分析]  求解本题的关键是注意到被积函数｜cost｜是以π为周期的周期函数，从而在每个以π为长度的区间上的积分相等，这样利用积分的可加性可将积分区间分解为以π为长度的区间，进而得到所需的不等式．利用(1)中得到的不等式和夹逼定理即可求(2)中的极限．
[评注]  若f(x)是周期为T的周期函数，即f(xT)＝f(x)，则
    ∫aa＋Tf(x)dx＝∫0Tf(x)dx。
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考研数学二

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