2. 考研
  3. 已知函数f(x)在[0，3π／2]上连续，在(0，3π／2)内是函数的一个原函数，f(0)=0． (I)求f(x)在区间[0，3π／2]上的平均值； (Ⅱ)证明f(x)在区间(0，3π／2)内存在唯一零点．

已知函数f(x)在[0，3π／2]上连续，在(0，3π／2)内是函数的一个原函数，f(0)=0． (I)求f(x)在区间[0，3π／2]上的平均值； (Ⅱ)证明f(x)在区间(0，3π／2)内存在唯一零点．

admin2022-09-22  106
问题 已知函数f(x)在[0，3π／2]上连续，在(0，3π／2)内是函数的一个原函数，f(0)=0．
    (I)求f(x)在区间[0，3π／2]上的平均值；
    (Ⅱ)证明f(x)在区间(0，3π／2)内存在唯一零点．
选项
答案(I)由题设可得 ∫0xf’(x)dx=f(x)-f(0)=∫0x[*]dt，x∈(0，3π／2)． 又f(0)=0，因此f(x)=∫0x[*]dt,则在区间[0，3π／2]上，f(x)的平均值为 [*] (Ⅱ)由题设可知f’(x)=[*]，x∈(0，3π／2)． 当0＜x＜π／2时，f’(x)＜0．可知在(0，π／2)上，f(x)单调递减． 而f(0)=0，知x∈(0，π／2]时，f(x)＜0，因此f(x)在(0，π／2]内无零点，且f(π／2)＜0． 当π／2＜x＜3π／2时，f’(x)＞0，可知在x∈(π／2，3π／2)时，f(x)单调递增． 由于f(x)在闭区间[0，3π／2]上连续，再结合(I)中结果，由积分中值定理可知，至少存在一点x0∈[0，3π／2]，使得f(x0)=1／3π＞0． 而当x∈(0，π／2]时，f(x)＜0，可知x0∈(π／2，3π／2]． 当x∈(π／2，3π／2)时，f(x)单调递增，可知x0唯一． 由f(π／2)＜0，f(x0)＞0，f(x)在(π／2，3π／2)上单调递增，结合连续函数的介值定理，可知存在唯一零点ξ∈(π2／，x0)[*](π／2，3π／2)，使得f(ξ)=0． 综上所述，f(x)在区间(0，3π／2)内存在唯一零点．
解析
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考研数学二

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