将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大?

admin2020-05-02 20

问题将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大?

选项

答案首先建立目标函数．将矩形的一个顶点置于坐标原点，两边分别置于x轴和y轴上，在x轴和y轴上的边长分别为x，y，则矩形绕x轴旋转所得圆柱体的体积为V=πxy²，其中x+y=p(0＜x＜p，0＜y＜p)．方法一此问题相当于求V=πxy²在x+y=p下的条件极值．取拉格朗日函数L(x，y，λ)=πxy²－λ(x+y－p)，令 [*] 当0＜x＜p，0＜y＜p时，解得[*]所以V在[*]处取得极大值，因为它是唯一驻点，又为内点，故为最大值点，即[*]时体积最大，最大体积为[*] 方法二由于当x＞0，y＞0时，[*]当且仅当[*]时等号成立，故[*]于是当[*]时，旋转体的体积V=πxy²取最大值[*]

解析

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考研数学一

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将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大?

考研数学一

设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转的旋转体体积最小，则y(x)=()

曲线(x－1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是___________．

曲线y=(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4的拐点是__________.

曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕z轴旋转一周所形成旋转体的体积为_______．

若函数z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c在点(-2，3)处取得极小值-3，则常数a、b、c之积abc=_______

设，则f(x)的极值为_，f(x)的拐点坐标为__。

求函数z=3axy—x3一y3(a＞0)的极值．

(2009年试题，15)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．

设X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn分别为来自相互独立的标准正态总体X与Y的简单随机样本，令则D(Z)=_____________．

下列焊丝型号中，()是灰铸铁焊丝。

美育的功能之一是【】

关税税额在人民币多少元以下的一票货物，可以免税()

慢性肾衰患者贫血最主要的原因是

根据企业的业务能力，海关也可以允许专业的企业从事代理外贸企业、加工贸易企业、“三资”企业向海关办理()。

就上市公司而言，将股东财富最大化作为财务管理目标的优点之一是容易被量化。()

下列各项中，属于账实核对的内容有()。

“为什么我的眼里常含泪水?因为我对这土地爱得深沉”出自艾青的()。

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若函数z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c在点(-2，3)处取得极小值-3，则常数a、b、c之积abc=_______

设，则f(x)的极值为_______，f(x)的拐点坐标为________。

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