2. 考研
  3. 设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明：(1)存在；(2)反常积分∫1＋∞f(x)dx与无穷级数同敛散．

设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明：(1)存在；(2)反常积分∫1＋∞f(x)dx与无穷级数同敛散．

admin2016-09-13  100
问题 设f(x)是在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数，

证明：(1)存在；(2)反常积分∫1＋∞f(x)dx与无穷级数同敛散．
选项
答案(1)由f(x)单调减少，故当k≤x≤k+1时， f(k+1)≤f(x)≤f(k)． 两边从k到k+1积分，得 ∫kk+1f(k+1)dx≤∫kk+1f(x)dx≤∫kk+1f(k)dx， 即f(k+1)≤∫kk+1f(x)dx≤f(k)． [*] 即｛an｝有下界．又 an+1－an=f(n+1)－∫nn+1f(x)dx≤0，即数列｛an｝单调减少，所以[*]存在． (2)由于f(x)非负，所以∫1xf(t)dt为x的单调增加函数．当n≤x≤n+1时， ∫1nf(t)dt≤∫1xf(t)dt≤∫1n+1f(t)dt， 所以 ∫1+∞f(x)dx收敛<=>[*]f(x)dx存在． 由(1)知[*]存在，所以 [*]f(k)存在<=>[*]f(x)dx存在． 从而推知 ∫1+∞f(x)dx<=>[*]f(n)收敛．
解析
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考研数学三

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