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[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性；
[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}． 讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性；
admin
2019-04-08
77
问题
[2003年]设函数f(x)连续且恒大于零，
其中Ω(t)={(x，y，z)｜x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
}，D(t)={(x，y)｜x
2
+y
2
≤t
2
}．
讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性；
选项
答案
因Ω(t)为球体，且被积函数为x
2
+y
2
+z
2
的函数，故用球面坐标系计算三重积分，对分子使用球坐标变换x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcosφ： [*] f(x
2
+y
2
+z
2
)dV=∫
0
2π
dθ∫
0
π
dφ∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
sinφdρ =∫
0
2π
dθ∫
0
π
sinφdφ∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
dρ =4π∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
dρ． 分母作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，得 [*]f(x
2
+y
2
)dσ=∫
0
2π
dθ∫
0
t
f(r
2
)rdr=2π∫
0
t
f(r
2
)rdr， ∫
-t
t
f(x
2
)dx=2∫
0
t
f(r
2
)dr (因f(r
2
)为偶函数)． 因而 F(t)=2∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
dρ/∫
0
t
f(r
2
)rdr， G(t)=π∫
0
t
f(r
2
)rdr/∫
0
t
f(r
2
)dr. 利用变上限求导公式，经计算得到 F’(t)=[2f(t
2
)t
2
]∫
0
t
f(r
2
)rdr一2f(t
2
)t∫
0
t
f(ρ
2
)ρ
2
dρ/[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
=2tf(t
2
)[∫
0
t
trf(r
2
)dr一∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr／[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
=2tf(t
2
)[∫
0
t
f(r
2
)r(t-r)dr]／[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
故在(0，+∞)上F’(t)＞0，所以F(t)在(0，+∞)内单调增加．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/ND04777K
0
考研数学一
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