(02年)设函数f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，且g(χ)＞0．利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使 ∫abf(χ)g(χ)dχ＝f(ξ)∫abg(χ)dχ．

admin2021-01-25 88

问题 (02年)设函数f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，且g(χ)＞0．利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使
∫_a^bf(χ)g(χ)dχ＝f(ξ)∫_a^bg(χ)dχ．

选项

答案因为f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，且g(χ)＞0，由最值定理，知f(χ)在[a，b]上有最大值M和最小值m，即 m≤f(χ)≤M 故mg(χ)≤f(χ)g(χ)≤Mg(χ) ∫_a^bmg(χ)dχ≤∫_a^b(χ)g(χ)dχ≤∫_a^bMg(χ)dχ [*] 由介值定理知，存在ξ∈[a，b]，使 [*] 即∫_a^b(χ)g(χ)dχ＝f(ξ)∫_a^bg(χ)dχ

解析

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