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设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．
设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．
admin
2022-01-06
56
问题
设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e
—x
2
—y
2
+
xy
2
f(u，υ)dudυ，其中D：u
2
+υ
2
≤a
2
(a＞0)，则f(x，y)=________．
选项
答案
e
—(x
2
+y
2
)
+π(1—e
—a
2
)xy
2
解析
注意
f(u，υ)dudυ为常数，记为A，由于xy
2
对u、υ来说为常数，因此对u，υ积分时可提到积分号外
f(x，y)=e
—x
2
—y
2
+Axy
2
．
求f(x，y)归结为求常数A．等式两边在D内积分得
d(x，y)dσ=
e
—(x
2
+y
2
)
dσ+A
xy
2
dσ ①
作极坐标变换
e
—(x
2
+y
2
)
dσ=∫
0
2π
dθ∫
0
a
e
—r
2
rdr= —πe
—r
2
|
0
a
=π(1—e
—a
2
又
xy
2
dσ=0 (D关于y轴对称，被积函数对x为奇函数)，
将它代入①式
A=π(1—e
—a
2
)．
因此 f(x，y)=e
—(x
2
+y
2
)
+π(1—e
—a
2
)xy
2
．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Msf4777K
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考研数学二
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