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(11年)设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Aχ＝β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Aχ＝β的通解为 【 】
(11年)设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Aχ＝β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Aχ＝β的通解为 【 】
admin
2021-01-25
93
问题
(11年)设A为4×3矩阵，η
1
，η
2
，η
3
是非齐次线性方程组Aχ＝β的3个线性无关的解，k
1
，k
2
为任意常数，则Aχ＝β的通解为 【 】
选项
A、
＋k
1
(η
2
－η
1
)．
B、
＋k
1
(η
2
－η
1
)．
C、
＋k
1
(η
2
－η
1
)＋k
2
(η
3
－η
1
)．
D、
＋k
1
(η
2
－η
1
)＋k
2
(η
3
－η
1
)．
答案
C
解析
首先，由A[
(η
2
＋η
3
)]＝β，知
(η
2
＋η
3
)是Aχ＝β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η
2
－η
1
及η
3
－η
1
均为方程组Aχ＝0的解；再次，由η
1
，η
2
，η
3
线性无关，利用线性无关的定义，或由
[η
2
－η
1
，η
3
－η
1
]＝[η
1
，η
2
，η
3
]
及矩阵
的秩为2，知向量组η
2
－η
1
，η
3
－η
1
线性无关，因此，方程组Aχ＝0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解，于是η
2
－η
1
，η
3
－η
1
可作为Aχ＝0的基础解系，Aχ＝0的通解为k
1
(η
2
－η
1
)＋k
2
(η
3
－η
1
)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Mrx4777K
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考研数学三
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