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设y=y（x）是区间（一π，π）内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。
设y=y（x）是区间（一π，π）内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。
admin
2017-12-29
105
问题
设y=y（x）是区间（一π，π）内过
的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y（x）满足y"+y+x=0。求函数y（x）的表达式。
选项
答案
由题意，当一π＜x＜0时，法线均过原点，所以有y=[*]，即ydy=一xdx，得y
2
=一x
2
+C。 又[*] 代入y
2
=一x
2
+C得C=π
2
，从而有x
2
+y
2
=π
2
，即y=[*] 当0≤x＜π时，y"+y+x=0，得其对应齐次微分方程y"+y=0的通解为，即y=[*] y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx。 设其特解为y
1
=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y
1
=一x是方程的特解，因此y"+y+x=0的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx一x。 因为y=y（x）是（一π，π）内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得 y|
x=0
=π， y’|
x=0
=0， 故得C
1
=π，C
2
=1，所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/MhX4777K
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考研数学三
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