已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。求曲线y=f(x2∫0xf(－t2)dt的拐点。

admin2019-06-28 70

问题已知函数f(x)满足方程f^’’(x)+f^’(x)一2f(x)=0及f^’’(x)+f(x)=2e^x。
求曲线y=f(x²∫₀^xf(－t²)dt的拐点。

选项

答案曲线方程为y=e^x²∫₀^xe^－t²dt，则 y^’=1+2xe^x²∫₀^xe^－t²， y^’’=2x+2(1+2x²)e^x²∫₀^xe^－t²dt，令y^’’=0得x=0。下面证明x=0是y^’’=0唯一的解，当x＞0时， 2x＞0，2(1+2x²)e^x²∫₀^xe^－t²dt＞0，可知y^’’＞0；当x＜0时， 2x＜0，2(1+2x²)e^x²∫₀^xe^－t²dt＜0，可知y^’’＜0。可知x=0是y^’’=0唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x²)∫₀^xf(－t²)dt在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0)点是曲线y=f(x²)∫₀^x(一t²)dt唯一的拐点。

解析

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考研数学二

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