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(Ⅰ)记Ω(R)={(x,y)|x2+y2≤R2},I(R)=e-(x2+y2)dxdy,求I(R); (Ⅱ)证明:∫-∞+∞e-x2dx=
(Ⅰ)记Ω(R)={(x,y)|x2+y2≤R2},I(R)=e-(x2+y2)dxdy,求I(R); (Ⅱ)证明:∫-∞+∞e-x2dx=
admin
2018-06-27
28
问题
(Ⅰ)记Ω(R)={(x,y)|x
2
+y
2
≤R
2
},I(R)=
e
-(x
2
+y
2
)
dxdy,求
I(R);
(Ⅱ)证明:∫
-∞
+∞
e
-x
2
dx=
选项
答案
(Ⅰ)首先用极坐标变换求出I(R),然后求极限[*]I(R). 作极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ得 I(R)=∫
0
2π
dθ∫
0
R
e
-r
2
rdr=2π([*]e
-r
2
)|
0
R
=π(1-e
-R
2
). 因此,[*] (Ⅱ)因为e
-x
2
在(-∞,+∞)可积,则∫
-∞
+∞
e
-x
2
dx=[*]∫
-R
R
e
-x
2
dx. 通过求∫
-R
R
e
-x
2
dx再求极限的方法行不通,因为∫e
-x
2
dx积不出来(不是初等函数).但可以估计这个积分值.为了利用[*]e
-(x
2
+y
2
)
dxdy,我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题. (∫
-R
R
e
-x
2
dx)=∫
-R
R
e
-x
2
dx∫
-R
R
e
-y
2
dy=[*]e
-(x
2
+y
2
)
dxdy. 其中D(R)={(x,y)||x|≤R,|y|≤R}.显然I(R)≤[*]e
-(x
2
+y
2
)
dxdy≤[*], 又[*],于是 [*](∫
-R
R
e
-x
2
dx)
2
=(∫
-∞
+∞
e
-x
2
dx)
2
=π.
解析
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考研数学二
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