2. 考研
  3. (Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)； (Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=

(Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)； (Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=

admin2018-06-27  20
问题 (Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)；
(Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=
选项
答案(Ⅰ)首先用极坐标变换求出I(R)，然后求极限[*]I(R). 作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ得 I(R)=∫02πdθ∫0Re-r2rdr=2π([*]e-r2)｜0R=π(1-e-R2)． 因此，[*] (Ⅱ)因为e-x2在(-∞，+∞)可积，则∫-∞+∞e-x2dx=[*]∫-RRe-x2dx． 通过求∫-RRe-x2dx再求极限的方法行不通，因为∫e-x2dx积不出来(不是初等函数)．但可以估计这个积分值．为了利用[*]e-(x2+y2)dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题． (∫-RRe-x2dx)=∫-RRe-x2dx∫-RRe-y2dy=[*]e-(x2+y2)dxdy． 其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．显然I(R)≤[*]e-(x2+y2)dxdy≤[*]， 又[*]，于是 [*](∫-RRe-x2dx)2=(∫-∞+∞e-x2dx)2=π.
解析
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考研数学二

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