设有抛物线Γ：y＝a－bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y＝x＋1相切； (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。

admin2015-11-16 59

问题设有抛物线Γ：y＝a－bx²(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得
(1)Γ与直线y＝x＋1相切；
(2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。

选项

答案解 Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为 [*] 显然V_y中含两个参数a与b，下求出a与b的关系。因Γ与直线y＝x＋1相切，即相交又相切,设切点为(x₀，y₀)，则在切点处两曲线的函数值相同，且其斜率相等，因而有 [*] 解之得[*]＝4(1－a) 将上述关系代入V_y中，则V_y仅含一个参数a，即 V_y＝2π(a²－a³)。令( V_y)’_a＝0得a＝2／3，因而b＝3／4，而当a＝2／3时，因 [*]＝2π(2－4)＜0，故当a＝2／3，b＝3／4时，Γ与直线y＝x＋1相切，且它们所围图形绕y轴旋转所得旋转体体积最大。

解析

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考研数学一

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设有抛物线Γ：y＝a－bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y＝x＋1相切； (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。

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