2. 考研
  3. 如图，C1和C2分别是y=1／2(1+ex)和y=ex的图形，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图形。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2

如图，C1和C2分别是y=1／2(1+ex)和y=ex的图形，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图形。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2

admin2018-04-14  145
问题 如图，C1和C2分别是y=1／2(1+ex)和y=ex的图形，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图形。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2(y)。如果总有S1(x)=S2(y)，求曲线C3的方程x=φ(y)。
选项
答案如图，有S1(x)=∫0x[et－[*](1+et]dt=1／2(ex－x－1)， S2(y)=∫1y[lnt－φ(t)]dt， 由题设，得 1／2(ex－x－1)=∫1y[lnt－φ(t)]dt， 而y=ex，于是 1／2(y－lny－1)=∫1y[lnt－φ(t)]dt， 两边对y求导得 1／2(1－[*])=lny－φ(y)， 故所求的函数关系为 x=φ(y)=lny－[*]
解析
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考研数学二

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