2. 考研
  3. 设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使 a3f"(η)＝3∫－aaf(x)dx．

设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使 a3f"(η)＝3∫－aaf(x)dx．

admin2014-07-22  145
问题 设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使
          a3f"(η)＝3∫－aaf(x)dx．
选项
答案(1)对任意x∈[－a，a]， [*] 其中ξ在0与x之间． (2)[*] 因为f"(x)在[－a，a]上连续，故对任意的x∈[－a，a]，有m≤f"(x)≤M，其中M，m分别为f"(x)在[－a，a]上的最大、最小值，于是有 [*] 即[*] 因此，由f"(x)在[－a，a]上的连续性知，至少存在一点η∈[－a，a]，使 [*] 即a3f"(η)＝3∫－aaf(x)dx．
解析 [分析]  (1)直接套公式即可，f(x)的带拉格朗日余项的”阶麦克劳林公式为：
   
    (2)的证明显然要用到(1)的结果，由于f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，因此f"(x)一定存在最大和最小值，若对进行估值后，发现介于f"(x)的最大值和最小值之间，则用介值定理即可完成证明．
[评注]  本题证明过程中得到的ξ与x有关，因此在(2)的证明过程中，干万不要误以为是常数，而由积分直接得

于是推出a3f"(ξ)＝3∫－aaf(x)dx．
这样表面上似乎证明了结论，而实际上是错误的．有时为了明确起见，可将ξ记为ξ(x)．
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考研数学二

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