设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。 (Ⅰ)证明B可逆； (Ⅱ)求AB-1。

admin2017-03-15 65

问题设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。
(Ⅰ)证明B可逆；
(Ⅱ)求AB^-1。

选项

答案(Ⅰ)设E(i，j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，因此有｜B｜=｜E(i，j)｜｜A｜=-｜A｜≠0，所以矩阵B可逆。 (Ⅱ)AB^-1=A[E(i，j)A]^-1=AA^-1E^-1(i，j)=E^-1(i，j)=E(i，j)。

解析

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