设二阶常系数微分方程y〞＋αyˊ＋βy＝ye2x有一个特解为y＝e2x+(1＋x)ex，试确定α，β，γ和此方程的通解．

admin2012-06-04 92

问题设二阶常系数微分方程y〞＋αyˊ＋βy＝ye^2x有一个特解为y＝e^2x+(1＋x)e^x，试确定α，β，γ和此方程的通解．

选项

答案由此方程的非齐次项含e^2x及特解形式知，e^2x是非齐次方程的特解，而由线性微分方程解的性质知(1＋x)e^x应是其对应的齐次方程的解，故r＝1为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为r²－2r＋1＝0，由此得α＝－2，β＝1，故原方程为y〞－2yˊ＋y＝γe^2x，将e^2x代人得γ＝1，故得原方程为y〞－2yˊ＋y＝e^2x，其通解为y＝(C₁＋C₂x)e^x＋e^2x．

解析

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