设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫01f(x)dx．

admin2016-10-24 54

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(2x一t)dt=

arctanx²，f(1)=1，求∫₀¹f(x)dx．

选项

答案[*]

解析由∫₀^xtf(2x一t)dt

∫_2x^x(2x一u)f(u)(一du)
=∫_x^2x(2x一u)f(u)du=2x∫_x^2xf(u)du一∫_x^2xuf(u)du
得2x∫_x^2xf(u)du一∫_x^2xuf(u)du=

arctanx²，等式两边对x求导得
2∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一4xf(2x)+xf(x)=

，整理得
2∫_x^2xf(u)du一xf(x)=

，
取x=1得2∫₁²f(u)du一f(1)=

，故∫₁²f(x)dx=

．

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