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  3. 设矩阵，当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。

设矩阵，当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。

admin2017-01-13  61
问题 设矩阵，当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵。
选项
答案矩阵A的特征多项式为 [*] 则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=1。矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是属于特征值λ=一1的线性无关的特征向量有两个，即线性方程组(一E—A)x=0有两个线性无关的解向量，则r(A+E)=1。对矩阵A+E作初等行变换得 [*] 当k=0时，r(A+E)=1。此时，由(一E—A)x=0解得属于特征值一1的两个线性无关的特征向量为α1=(一1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；由(E—A)x=0解得属于特征值1的特征向量为α3=(1，0，1)T。令可逆矩阵P=(α1,α2,α3)，则 [*]
解析
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考研数学二

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