设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O，证明：A和A+B都是可逆阵，并求A一1和(A+B)一1．

admin2021-11-09 42

问题设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A²+AB+B²=O，证明：A和A+B都是可逆阵，并求A^一1和(A+B)^一1．

选项

答案由题设：A²+AB+B²=O，得 A(A+B)=一B²． ① ①式右乘(一B²)^一1，得A(A+B)(一B²)^一1=E，得A可逆，且 A^一1=(A+B)(一B²)^一1． ①式左乘(一B²)^一1，得(一B²)^一1A(A+B)=E，得A+B可逆，且 (A+B)^一1=(一B²)^一1A．

解析

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