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  3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )

admin2018-11-20  19
问题 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则(  )
选项 A、当m＞n时，|AB|≠0．
B、当m＞n时，|AB|=0．
C、当n＞m时，|AB|≠0．
D、当n＞m时，|AB|=0．
答案B
解析 本题考察AB的行列式|AB|，而条件显然是不能用来计算|AB|．而利用方阵“可逆满秩”，转化为“r(AB)是否=AB的阶数m”的判断则是可行的．
    有不等式
    r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}．
    如果m＞n，则
    r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=n＜m．
    于是r(AB)＜m，从而AB不可逆，|AB|=0．因此(B)成立．
    (如果m＜n，r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=m．不能断定r(AB)与m的关系，(C)，(D)都不一定成立．)
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考研数学三

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