已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令 α=α1+α2+α3 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P－1AP．

admin2015-05-07 74

问题已知A是3阶矩阵，α_i(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aα_i=iα_i(i=1，2，3)，令
α=α₁+α₂+α₃
(Ⅰ)证明：α，Aα，A²α线性无关；
(Ⅱ)设P=(α，Aα，A²α)，求P^－1AP．

选项

答案(Ⅰ)由Aα₁=α₁，Aα₂=2α₂，Aα₃=3α₃，且α₁，α₂，α₃非零可知，α₁，α₂，α₃ 是A的不同特征值的特征向量，故α₁，α₂，α₃线性无关．又Aα=α₁+2α₂+3α₃，Aα=α₁+4α₂+9α₃，若k₁α+k₂Aα+k₃Aα=0，即 k₁(α₁+α₂+α₃)+k₂(α₁+2α₂+3α₃)+k₃(α₁+4α₂+9α₃) =0，则 (k₁+k₂+k₃)α₁+(k₁+2k₂+4k₃)α₂+(k₁+3k₂+9k₃)α₃=0．由α₁，α₂，α₃线性无关，得齐次线性方程组 [*] 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0，所以必有k₁=k₂=k₃=0，即α，Aα，A²α线性无关． (Ⅱ)因为A³α=α₁+8α₂+27a₃=6α－11Aα+6A²α，所以 AP=A(α，Aα，A²α) =(Aα，A²α，6α－11Aα+6A²α)=(α，Aα，A²)[*] 故P^－1AP=[*]

解析

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考研数学一

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已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令 α=α1+α2+α3 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P－1AP．

考研数学一

设，则A-1=________．

设A是3阶实对称矩阵，λ=5是A的二重特征值．对应的特征向量为ξ1=[1，-1，2]T，ξ2=[1，2，1]T，则二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在x0=[1，5，0]T的值f(1，5，0)=________．

计算n阶行列式

已知α1=[-1，1，a，4]T，α2=[-2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值范围为()．

设A，B为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵．计算

设A为4阶矩阵，满足等式(A-E)2=0，证明A可逆，并给出A-1．

设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()。

[*]本题是两个不同分布的综合问题，所求的事件Vn为n次独立重复实验中X的观测值不大于0．1的次数，故Vn服从二项分布b(n，p)，而这里p为X的观测值不大于0．1的概率，需要根据X服从的分布来计算．

一根输水管道的最高点在水面下方5m深处，管道截面为圆形，直径为80cm，有一个与管道截面大小一样的铅直闸门将管道口挡住，求闸门上所受的水的静压力。

有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力．

慢性肾衰竭高钾血症慢性肾衰竭继发性甲旁亢

A、3分钟B、15分钟C、20分钟D、30分钟E、60分钟薄膜片的崩解时限是

预制拼装施工的圆形水池可采用()进行壁板环向预应力施工。

建设项目的环境影响报告书应当包括的内容是(　　)。

以下是ABC公司投资组合的信息：这些投资在ABC公司财务状况表上应报告的金额为

“发展才是硬道理”所表达的是（）。

(2007年)设幂级数内收敛，其和函数y(x)满足y"一2xy’一4y=0，y(0)=0，y’(0)=1证明an+2n=1，2，…；

计算机技术中，下列英文缩写和中文名字的对照中，正确的是()。

Theydidnotfind______topreparefortheworstconditionstheymightmeet.

Prof.Adlermentionedanillustrationofbeefsteakinordertoprove

已知A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，若Aαi=iαi(i=1，2，3)，令 α=α1+α2+α3 (Ⅰ)证明：α，Aα，A2α线性无关； (Ⅱ)设P=(α，Aα，A2α)，求P－1AP．

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设，则A-1=________．

设A是3阶实对称矩阵，λ=5是A的二重特征值．对应的特征向量为ξ1=[1，-1，2]T，ξ2=[1，2，1]T，则二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在x0=[1，5，0]T的值f(1，5，0)=________．

计算n阶行列式

已知α1=[-1，1，a，4]T，α2=[-2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值范围为()．

设A，B为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵．计算

设A为4阶矩阵，满足等式(A-E)2=0，证明A可逆，并给出A-1．

设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()。

[*]本题是两个不同分布的综合问题，所求的事件Vn为n次独立重复实验中X的观测值不大于0．1的次数，故Vn服从二项分布b(n，p)，而这里p为X的观测值不大于0．1的概率，需要根据X服从的分布来计算．

一根输水管道的最高点在水面下方5m深处，管道截面为圆形，直径为80cm，有一个与管道截面大小一样的铅直闸门将管道口挡住，求闸门上所受的水的静压力。

有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力．

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A、3分钟B、15分钟C、20分钟D、30分钟E、60分钟薄膜片的崩解时限是

预制拼装施工的圆形水池可采用()进行壁板环向预应力施工。

建设项目的环境影响报告书应当包括的内容是( )。

以下是ABC公司投资组合的信息：这些投资在ABC公司财务状况表上应报告的金额为

“发展才是硬道理”所表达的是（）。

(2007年)设幂级数内收敛，其和函数y(x)满足y"一2xy’一4y=0，y(0)=0，y’(0)=1证明an+2n=1，2，…；

计算机技术中，下列英文缩写和中文名字的对照中，正确的是()。

Theydidnotfind______topreparefortheworstconditionstheymightmeet.

Prof.Adlermentionedanillustrationofbeefsteakinordertoprove

建设项目的环境影响报告书应当包括的内容是(　　)。