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求解下列方程: (Ⅰ)求方程xy″=y′lny′的通解; (Ⅱ)求yy″=2(y′2-y′)满足初始条件y(0)=1,y′(0)=2的特解.
求解下列方程: (Ⅰ)求方程xy″=y′lny′的通解; (Ⅱ)求yy″=2(y′2-y′)满足初始条件y(0)=1,y′(0)=2的特解.
admin
2016-10-26
101
问题
求解下列方程:
(Ⅰ)求方程xy″=y′lny′的通解;
(Ⅱ)求yy″=2(y
′2
-y′)满足初始条件y(0)=1,y′(0)=2的特解.
选项
答案
(Ⅰ)此方程不显含y.令P=y′,则原方程化为xp′=plnp. 当p≠1时,可改写为[*],其通解为 ln|lnp|=ln|x|+lnC,即lnp=C
1
x,即y′=e
C
1
x
. 这样,原方程的通解即为y=[*]e
C
1
x
+C
2
,其中C
1
≠0,C
2
为任意常数. 当P=1时,也可以得到一族解y=x+C
3
. (Ⅱ)此方程不显含x.令p=y′,且以y为自变量,[*],原方程可化为yp[*]=2(p
2
-p). 当p≠0时,可改写为y[*]=2(p-1) 或 [*],解为p-1=C
1
y
2
. 再利用P=y′,以及初始条件,可推出常数C
1
=1.从而上述方程为变量可分离的方程 y′=1+y
2
[*] 其通解为y=tan(x+C
2
). 再一次利用初始条件y(0)=1,即得C
2
=[*].所以满足初始条件的特解为y=tan(x+[*]).
解析
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考研数学一
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