2. 考研
  3. 设a1=0，当n≥1时，an+1=2一cos an，证明：数列{an}收敛，并证明其极限值位于区间(，3)内．

设a1=0，当n≥1时，an+1=2一cos an，证明：数列{an}收敛，并证明其极限值位于区间(，3)内．

admin2017-12-23  126
问题 设a1=0，当n≥1时，an+1=2一cos an，证明：数列{an}收敛，并证明其极限值位于区间(，3)内．
选项
答案设f(x)=2一cos x，则an+1=f(an)，有f’(x)=sin x，所以f(x)在[0，3]上单增． 由于a1=0，a2=2一cos a1=1，即a1＜a2≤3，由于函数f(x)在[0，3]上单调增加，所以f(a1)＜f(a2)≤f(3)，即a2＜a3≤3，从而有a1＜a2＜a3＜a4＜…＜an＜an+1＜…≤3． 于是可知数列{an}单调增加且有上界3，所以数列{an}收敛．设其极限为A(A≤3)，即[*]=A． 在an+1=f(an)两边同取n→∞时的极限，有A=f(A)，即A=2一cos A． 记g(x)=x一2+cos x，则上述数列的极限值A，就是方程g(x)=0的解． 由于函数g(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且有g’(x)=1一sin x≥0，所以函数g(x)在[0，3]上单调增加．由于 g(3)=1+cos 3＞0， [*]， 所以方程g(x)=0在区间([*]，3)内的解存在且唯一，证毕．
解析
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考研数学二

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