已知y1=e3x-xe2x，y2=ex-xe2x，y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y｜x=0=0，y’｜x=0=1的解为________．

admin2022-09-22 118

问题已知y₁=e^3x-xe^2x，y₂=e^x-xe^2x，y₃=-xe^2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y｜_x=0=0，y’｜_x=0=1的解为________．

选项

答案y=e^3x-e^x-xe^2x

解析 y₁-y₂=e^3x-e^x，y₂-y₃=e^x是对应齐次微分方程的解．
由分析知，y^*=-xe^2x是非齐次微分方程的一个特解，
故原方程的通解为y=C₁(e^3x-e^x)+C₂e^x-xe^2x，C₁，C₂为任意常数．
由y｜_x=0=0，y’｜_x=0=1，可得C₁=1，C₂=0．
因此原非齐次微分方程满足特定条件下的解为y=e^3x-e^x-xe^2x．

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