正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．

admin2017-10-21 47

问题

正交矩阵Q使得Q^TAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为

(1，2，1)^T．求a和Q．

选项

答案Q^-1AQ=Q^TAQ是对角矩阵，说明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)^T也是A的特征向量． [*] (1，2，1)^T和(2，5+a，4+2a)^T相关，得a=一1，并且(1，2，1)^T的特征值为2． [*] A的特征值为2，5，一4．下面来求它们的单位特征向量． [*]是属于2的单位特征向量． [*] 则(1，一1，1)^T是属于5的特征向量，单位化得[*] [*] 则(1，0，一1)^T是属于一4的特征向量，单位化得[*] 则Q=(α₁，α₂，α₃)，(不是唯一解，例如(α₁，α₃，α₂)，(α₁，一α₂，一α₃)，(α₁，一α₃，一α₂)等也都适合要求．)

解析

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