2. 考研
  3. 设f(χ)在[－2，2]上具有连续的导数，且f0)＝0，F(χ)＝∫－χχf(χ＋t)dt，证明：级数绝对收敛．

设f(χ)在[－2，2]上具有连续的导数，且f0)＝0，F(χ)＝∫－χχf(χ＋t)dt，证明：级数绝对收敛．

admin2021-10-02  74
问题 设f(χ)在[－2，2]上具有连续的导数，且f0)＝0，F(χ)＝∫－χχf(χ＋t)dt，证明：级数绝对收敛．
选项
答案因为 F(χ)＝∫－χχf(χ＋t)dt[*]∫02χf(u)du＝uf(u)｜02χ－∫02χuf′(u)du ＝2χf(2χ)－∫02χuf′(u)du， 则[*]． 由拉格朗日中值定理，得 [*] 又因为f′(χ)在[－2，2]上连续，则f′(χ)在[－2，2]上有界，即存在正数M＞0，有 ｜f′(χ)｜≤M，χ∈[－2，2]． 因此 [*] 又因为[*]收敛，则[*]收敛． 所以[*]绝对收敛．
解析
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考研数学三

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