设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型 f(χ1，χ2，…χn)＝χiχj (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(χ1，χ2，…，χn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

admin2018-11-23 73

问题设A是一个可逆实对称矩阵，记A_ij是它的代数余子式．二次型
f(χ₁，χ₂，…χ_n)＝

χ_iχ_j
(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．
(2)f(χ₁，χ₂，…，χ_n)的规范形和X^TAX的规范形是否相同?为什么?

选项

答案(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式A_ij＝A_ji，[*]，并且A^-1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是A_ij／｜A｜，于是f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝X^TA^-1X． (2)A^-1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A^-1和A的正的特征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A^-1和A合同，f(χ₁，χ₂，…，χ_n)和X^TAX有相同的规范形．

解析

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设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型 f(χ1，χ2，…χn)＝χiχj (1)用矩阵乘积的形式写出此二次型． (2)f(χ1，χ2，…，χn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?

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