2. 考研
  3. 设f(x)在[0，π/2]上连续，在(0，π/2)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，π/2)，使得π/2f’(ξ)=f’(η)/sinη．

设f(x)在[0，π/2]上连续，在(0，π/2)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，π/2)，使得π/2f’(ξ)=f’(η)/sinη．

admin2021-10-18  52
问题 设f(x)在[0，π/2]上连续，在(0，π/2)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，π/2)，使得π/2f’(ξ)=f’(η)/sinη．
选项
答案令g(x)=cosx，g’(x)=-sinx≠0(0＜x＜π/2)，由柯西中值定理，存在η∈(0，π/2)，使得[f(π/2)-f(0)]/[g(π/2)-g(0)]，即f(π/2)-f(0)=f’(η)/sinη；由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，π/2)，使得f(π/2)-f(0)=f’(ξ)(π/2-0)，故π/2f’(ξ)=f’(η)/sinη．
解析
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考研数学二

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