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  3. [2011年] 设函数f(x)=(λ＞0)，则∫-∞+∞xf(x)dx=_________．

[2011年] 设函数f(x)=(λ＞0)，则∫-∞+∞xf(x)dx=_________．

admin2021-01-19  95
问题 [2011年]  设函数f(x)=(λ＞0)，则∫-∞+∞xf(x)dx=_________．
选项
答案 利用无穷限反常积分的定义或用分部积分法求之． 解一 因∫-∞+∞xf(x)dx=∫-∞0x·0dx+∫0+∞x·λe-λxdx，显然右边第一个反常积分收敛， 而第二个反常积分易求得，即 ∫0+∞λxe-λxdx=[*]∫0+∞(λx)e-λxd(λx)=[*], 故它必收敛．由定义1．3．4．1知，原反常积分收敛，且其值为1／λ(λ＞0)． 解二 利用分部积分法直接计算得到 ∫-∞+∞xf(x)dx=∫0+∞λxe-λxdx=一∫0+∞xd(e-λx)=一(xe-λx)∣0+∞+∫0+∞e-λxdx. =一[*].
解析
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考研数学二

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