飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行到原点时被发现，随即从x轴上点(x0，y0)处发射导弹向飞机击去，其中x0＞0．若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数2v． (Ⅰ)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件； (Ⅱ)求导弹的运行轨迹

admin2014-11-26 83

问题飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行到原点时被发现，随即从x轴上点(x₀，y₀)处发射导弹向飞机击去，其中x₀＞0．若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数2v．
(Ⅰ)求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件；
(Ⅱ)求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间T．

选项

答案(Ⅰ)设导弹在t时刻的坐标为A(x(t)，y(t))，其运行轨迹方程为y==y(x)．在某时刻t≥0，飞机的位置为B(0，vt)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在t时刻，导弹运行轨迹曲线的切线斜率[*]与线段AB的斜率相等，于是有[*]两边对x求导数，得[*]因为导弹的速度大小为2v，所以[*]y=y(x)所满足的初始条件为y(x₀)=0，y’(x₀)=0． (Ⅱ)令[*]，则上式可变为 [*]

解析

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考研数学一

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