2. 考研
  3. 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)2f(x)，证明使得F’’(x0)=0．

已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)2f(x)，证明使得F’’(x0)=0．

admin2018-06-27  110
问题 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx-1)2f(x)，证明使得F’’(x0)=0．
选项
答案首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明[*]，使得F’’(x0*)=0即可． 显然F(0)=[*]=0，于是由罗尔定理知，[*]，使得F’(x1)=0．又 F’(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)2f’(x)， [*] 对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在x0*∈[*]，使得F’’(x0*)=0． 注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数，于是[*]x0=2π+x0*，即x0∈[*]，使得 F’’(x0)=F’’(x0*)=0．
解析
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考研数学二

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