2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)，使得eη—ξ[f(η)+f′(η)]=1。

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)，使得eη—ξ[f(η)+f′(η)]=1。

admin2018-12-29  56
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，证明存在ξ，η∈(a，b)，使得eη—ξ[f(η)+f′(η)]=1。
选项
答案设F(x)=exf(x)，由F(x)及ex在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，均满足拉格朗日中值定理条件，因此，存在ξ，η∈(a，b)，使得 F(b)—F(a)=ebf(b)一eaf(a)=f′(η)(b—a)=eη[f′(η)+f(η)](b—a)， eb—ea=eξ(b—a)。 将以上两式相比，且由f(a)=f(b)=1，整理后有eη—ξ[f(η)+f′(η)]=1。
解析
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考研数学一

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