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  3. 已知矩阵相似．求： (I)x，y的值． (Ⅱ)可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

已知矩阵相似．求： (I)x，y的值． (Ⅱ)可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2020-09-25  101
问题 已知矩阵相似．求：
(I)x，y的值．
(Ⅱ)可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
选项
答案(I)由于A～B，则tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即[*] (Ⅱ)先求可逆矩阵P1，使得P1-1AP1为对角矩阵．由题意知A，B的特征值均为一2，2，一1． 由(一2E—A)x=0解出A的属于特征值-2的一个特征向量ξ1=(一1，2，4)T． 由(2E一A)x=0解出A的属于特征值2的一个特征向量ξ2=(一1，2，0)T． 由(一E—A)x=0解出A的属于特征值一1的一个特征向量ξ3=(一2，1，0)T． 令可逆矩阵P1=(ξ1，ξ2，ξ3)=[*]，则P1-1AP1=[*] 再求可逆矩阵P2，使得P2-1BP2=[*]为此需求B的一组特征向量． 由(一2E一B)x=0解出B的属于特征值一2的一个特征向量η1=(0，0，1)T． 由(一2E—B)x=0解出B的属于特征值2的一个特征向量η2=(1，0，0)T． 由(一E—B)x=0解出B的属于特征值一1的一个特征向量η3=(-1，3，0)T． 令可逆矩阵P2=(η1，η2，η3)=[*]，则P2-1BP2=[*]=P1-1AP1． 等式两边同时左乘P2，再右乘P2-1可得，P2P1-1AP1P2-1=B． 令P=P1P2-1，则有P-1AP=B，计算可得 [*]
解析
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考研数学三

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