一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为Pn，请写出Pn的递推关系式，并求Pn.

admin2019-01-31 30

问题一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为P_n，请写出P_n的递推关系式，并求P_n.

选项

答案由甲、乙等5个人参加相互传球游戏，经过n次传球，则有4ⁿ种传球方法，假设第n次传球后球在甲手中的传球方法有a_n种，球不在甲手中的传球方法有b_n种，则a_n+b_n=4ⁿ．第n—1次传球后，如果球在甲的手中，则第n次传球后，球一定不在甲的手中，此时球从甲手中传出去有4种可能．第n—1次传球后，如果球不在甲的手中，则第n次传球后，球有可能传到甲的手中．经过n次传球后，如果球传到甲的手中，则可知第n次传球的方向是确定的(一定是传向甲)．所以第n次传球后球在甲手中的传球方法a_n等于第n—1次传球后球不在甲手中的方法b_n—1．又由a_n+b_n=4ⁿ可推出a_n—1+b_n—1=4^n—1，所以a_n—1+a_n=4^n—1。此式子变形后为：a_n—1—[*]．因为开始时球在甲手中，所以第一次传球后，球在甲手中的方法a₁=0．由此可得：[*]，公比为—1的等比数列，由此可知a_n—[*]×(—1)^n—1。故a_n=[*]. 因为总的传球方法是4ⁿ种，所以第n次传球后，球在甲手中的概率P_n=[*]. 递推关系式： P_n—P_n—1=[*].

解析

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一项由甲、乙等5个人参加的相互传球游戏，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外4人中的任何一人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为Pn，请写出Pn的递推关系式，并求Pn.

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